二阶偏微分方程(原子弹的临界质量是怎么算的？)

我们知道，在二战期间，美国与德国是同时进行原子弹的研发的，但是后来，美国的原子弹研发出来了，而德国的却没有研发出来，这其中最主要的区别就在于，当时，负责德国原子弹研发理论工作的海森堡，在计算原子弹所需要的铀材料的质量数上出现了重大失误，本质只需要几十千克的铀，被他算出来说需要几吨，这使得德国人对造原子弹失去了信心。

因为铀材料要找到几十千克还是比较容易的，但要几吨的话则很难找到，而且即使做出来了，飞机上也放不了那么重的原子弹，不好投弹了，所以，德国人在原子弹的研究过程中陷入了消极，这个是主要的原因。那么，原子弹的临界质量(就是原子弹要爆炸所需要的最小核材料的质量)是怎么算出来的呢？

广岛原子弹“小男孩”

在铀235的块状物体中，假设是正方体形状的，那么可以通过数学物理方程求出铀235的临界体积，我们假设u是中子的密度，那么在一定的时间内，中子的密度随着时间是再朝外扩散的，满足扩散方程，同时中子的密度u还因为链式反应而在不断增加，增加的速度是正比于中子的浓度的，也就是说，中子越多，则中子密度的增加就越快——也就是通常人们说的指数式增长。因此，在中子的扩散与增殖的作用下，就会有一个临界体积，当体积大于临界体积的时候，中子浓度会随着时间指数发散，原子弹就会爆炸。

建设铀立方体的长度是L，我们可以建立如下的二阶偏微分方程，这个方程是由扩散方程与增殖项一起来决定的——对大学物理系二年级的学生来说，这并不难：

u _t -αu _xx =βu(0≤x≤L)

这是一个一维的方程，其中u(x，t)是中子的密度。

这个方程再加上边界条件是可以求解的，假设在铀块的边界上还没有中子逃逸出来，那么，最简单的边界条件是u _{x =0} =u _L=0 =0。因此，这个2阶偏微分方程可以通过分离变量的方法求解，解可以写成无穷项级数的求和：

观察e的指数项，如果要让整个解是指数发散的，就需要指数项是e的正数次，所以，对于第一项就应该有如下结论：

这样我们就求出了正方形形状的U原子弹爆炸的临界尺寸，(乘以密度也就是临界质量)：

其中，α是中子扩散系数，β是中子的增值系数，n是正整数，最小可以取1。

因此，只要在实验室测量出α中子扩散系数以及β中子的增值系数，就可以估计出原子弹的临界质量了。而海森堡在这里却犯了很大的错。