函数的单调性ppt（函数的单调性ppt课件高一北师大版国家级）

天龙生活圈 2023-05-08T22:32:51 57982次浏览

最佳答案函数的单调性是高中数学中非常重要的概念之一，它对于函数的性质和图像的研究有着重要的影响。本文将围绕函数的单调性进行解释和讲解，从而帮助读者深入理解这一概念的内涵和应

函数的单调性是高中数学中非常重要的概念之一，它对于函数的性质和图像的研究有着重要的影响。本文将围绕函数的单调性进行解释和讲解，从而帮助读者深入理解这一概念的内涵和应用。

一、什么是函数的单调性

函数的单调性是指函数在定义域上的取值随着自变量的增大或减小而单调不降或单调不增的性质。通俗地说，当自变量增大时，函数值要么单调增加，要么不变；反之亦然。具体有单调递增、单调递减、严格单调递增、严格单调递减四种情况。

我们可以通过对函数的导数的符号和变化情况来判断函数的单调性。具体来说，当函数的导数大于0时，函数单调递增；当函数的导数小于0时，函数单调递减。如果导数恒大于0，则函数严格单调递增；如果导数恒小于0，则函数严格单调递减。

二、函数单调性的判断方法

判断函数的单调性需要使用导数的符号和变化规律。具体来说，我们可以通过如下步骤来判断函数的单调性：

1. 求出函数的导数，并判断其符号变化。

2. 根据导数的符号变化，判断函数的单调性。如果导数恒大于0，则函数严格单调递增；如果导数恒小于0，则函数严格单调递减；如果导数在某个区间内大于0，则函数在该区间上单调递增；如果导数在某个区间内小于0，则函数在该区间上单调递减。

需要注意的是，有些函数的导数可能存在极值点或间断点，这时候需要通过导数的符号变化来判断函数的单调性。

三、函数单调性的应用

函数的单调性是研究函数的性质和图像的关键，其应用广泛。下面我们来介绍一些常见的应用场景：

1. 最值问题。由于单调递增函数的最小值位于定义域的最小值处，单调递减函数的最大值位于定义域的最大值处，因此可以通过函数的单调性来求出函数的最值。

2. 函数图像的绘制。通过函数的单调性，可以对函数的图像进行大致的描绘，如知道函数在某个区间上单调递增，就可以在该区间内描绘出函数图像的趋势。

3. 方程的解。在有些方程的求解过程中，需要通过函数的单调性来确定其根的存在性和个数。

四、函数单调性的例题分析

下面我们来看几个关于函数单调性的例题：

例1：设函数$f(x)=\\frac{x+\\sqrt{1+x^2}}{x-\\sqrt{1+x^2}}$，求函数的单调增区间。

解：首先，我们求出函数的导数$f'(x)$，得到$f'(x)=-\\frac{4}{(x-\\sqrt{1+x^2})^2}$。由于函数$f(x)$的分母$(x-\\sqrt{1+x^2})^2$始终大于0，因此$f'(x)$恒小于0，即函数$f(x)$在定义域上单调递减。故函数的单调增区间为空集。

例2：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x-1$，求函数的单调递增区间和单调递减区间。

解：我们首先求出函数的导数$f'(x)=3x^2-6x+2$，将其设置为0，解得其零点$x=1\\pm\\frac{\\sqrt{3}}{3}$。由于$f'(x)>0$当$x< 1-\\frac{\\sqrt{3}}{3}$或$x> 1+\\frac{\\sqrt{3}}{3}$，并且$f'(x)<0$当$1-\\frac{\\sqrt{3}}{3}